知识点一：二维空间中的直接关系

在二维笛卡尔坐标系中，一个向量 $\mathbf{a}$ 可以表示为一个有序对 $\mathbf{a} = (x, y)$。

几何表示

当我们从原点 $(0, 0)$ 画出向量 $\mathbf{a}$ 到点 $(x, y)$ 时，我们可以构造出一个直角三角形：

  • 直角三角形的两条直角边： 长度分别为向量的两个分量 $x$ 和 $y$。
  • 直角三角形的斜边： 就是向量 $\mathbf{a}$ 本身，其长度即为向量的模长 $|\mathbf{a}|$。

勾股定理的应用

勾股定理指出：在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

$$\text{直角边}_1^2 + \text{直角边}_2^2 = \text{斜边}^2$$

将我们的向量分量代入：

$$x^2 + y^2 = |\mathbf{a}|^2$$

向量模长的公式

因此，向量 $\mathbf{a}$ 的模长 $|\mathbf{a}|$ 就是斜边的长度，由勾股定理直接得出：

$$|\mathbf{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$$

结论： 在二维空间中，向量的模长公式本质上就是勾股定理的应用。模长就是以向量的坐标分量为直角边的直角三角形的斜边长。

知识点二：高维空间中的推广（知识串联）

向量的模长和勾股定理的关系并不仅限于二维空间，它可以直接推广到任意 $n$ 维空间。

$n$ 维向量

在一个 $n$ 维空间中，一个向量 $\mathbf{a}$ 可以表示为 $\mathbf{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$。

模长的定义（欧几里得范数）

向量 $\mathbf{a}$ 的模长（也称为其欧几里得范数或 $L_2$ 范数，记作 $||\mathbf{a}||_2$ 或 $|\mathbf{a}|$) 被定义为：

$$|\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_i^2}$$

勾股定理的推广

这个 $n$ 维模长公式，正是勾股定理在高维空间中的推广。

在三维空间中，向量 $\mathbf{a} = (x, y, z)$ 的模长 $|\mathbf{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。
这可以理解为：先用勾股定理计算 $xy$ 平面上的投影向量 $(x, y)$ 的长度 $\sqrt{x^2 + y^2}$，然后用这个长度和 $z$ 轴长度再次使用勾股定理，得到三维斜边长。

结论： 向量的模长（欧几里得范数）公式是勾股定理在任意维度空间中的数学表达和延伸。它保证了无论向量的维度是多少，我们计算出的“长度”都符合欧几里得几何的距离度量。

核心结论：

向量的模长（或欧几里得范数）公式直接来源于并体现了勾股定理。它将向量的各个分量作为互相正交（垂直）的“边”，通过它们的平方和的平方根，来计算连接原点和终点的直线距离（即向量的长度）。因此，模长计算就是将勾股定理从二维平面推广到任意高维空间的数学工具。