什么是向量的模长？

定义

向量的模长（Magnitude），也称为范数（Norm）或长度，是描述向量“大小”或“强度”的标量值。在几何上，它表示从向量的起点到终点的欧几里得距离。

对于一个 $ n $ 维实数向量 $\mathbf{v} = [v_1, v_2, \dots, v_n]$，其模长定义为：

$$
|\mathbf{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}
$$

该公式来源于欧几里得范数（Euclidean norm），即 $ L^2 $ 范数。

在二维空间中，向量 $\mathbf{v} = [x, y]$ 的模长是其在平面上的长度：
$$
|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}
$$
这等价于直角三角形的斜边长度（勾股定理）。
在三维空间中，向量 $\mathbf{v} = [x, y, z]$ 的模长为：
$$
|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}
$$
推广到 $ n $ 维空间，模长即为从原点 $(0,0,\dots,0)$ 到点 $(v_1,v_2,\dots,v_n)$ 的直线距离。

非负性：$|\mathbf{v}| \geq 0$，且 $|\mathbf{v}| = 0$ 当且仅当 $\mathbf{v} = \mathbf{0}$（零向量）。
齐次性：对任意标量 $ c $，有 $|c\mathbf{v}| = |c| \cdot |\mathbf{v}|$。
三角不等式：$|\mathbf{u} + \mathbf{v}| \leq |\mathbf{u}| + |\mathbf{v}|$。
与点积的关系：
$$
\mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{v}|^2
$$
即向量与自身的点积等于其模长的平方。

设向量 $\mathbf{v} = [3, 4]$，其模长为：

$$
|\mathbf{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
$$

这表示该向量在二维平面上的长度为 5 个单位。

归一化（Normalization）：
- 将向量除以其模长，得到单位向量（unit vector）：
  $$
  \hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}
  $$
- 单位向量的模长为 1，仅保留方向信息，常用于计算余弦相似度。
相似度计算：
- 余弦相似度定义为：
  $$
  \text{cosine similarity} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|}
  $$
- 它衡量两个向量方向的夹角，不受模长影响。
正则化：
- 在损失函数中加入模长的平方（如 L2 正则化）可防止模型过拟合。

向量的模长是其在空间中的几何长度，计算方式为各分量平方和的平方根。它是向量的基本属性之一，在数学、物理和机器学习中广泛用于衡量大小、进行归一化、计算相似度以及优化模型。